Introduzione

Dal gr. παράδοξος, comp. di παρα- nel sign. di «contro» e δόξα «opinione»; lat. paradoxum. Affermazione, proposizione, tesi, opinione che, per il suo contenuto o per la forma in cui è espressa, appare contraria all’opinione comune o alla verosimiglianza e riesce perciò sorprendente o incredibile. Il termine fu usato già anticamente dagli stoici, per designare quelle tesi, specialmente etiche, che apparivano contrastanti con l’esperienza comune (per es., che il dolore non fosse un male); Paradoxa stoicorum (trad. it. I paradossi degli stoici) è il titolo di un’opera di Cicerone (46 a.C.). In senso oggettivo, si denomina paradosso una tesi che sembra contraddire l’opinione comune o i principi generali di una scienza, ma che, all’esame critico, si dimostra valida; oppure, al contrario, una dimostrazione che, partendo da un presupposto falso e condotta con apparente rigore logico, si risolve definitivamente in un sofisma: erano tali, per es., gli argomenti arrecati da Zenone di Elea contro la molteplicità e il movimento, e sono tali alcuni paradosso della matematica e, nella fisica, il cosiddetto paradosso o principio di d’Alembert ( Alembert, Jean-Baptiste Le Rond d’).

I principali paradossi logici

Il paradosso è un enunciato contrario all’opinione comune, ossia che si presenta in sé stesso contraddittorio. Allorché si tratta dei cosiddetti paradosso logici e linguistici ( oltre), il termine è usato come sinon. di antinomia. La scoperta di paradosso è stata in ogni tempo estremamente fruttuosa, poiché ha spinto all’approfondimento dei problemi implicati e ha aperto la via a fondamentali progressi delle teorie logiche; questo è accaduto soprattutto a partire dall’inizio del sec. 20°, determinando una svolta radicale nelle ricerche sui fondamenti della matematica e nella stessa logica. Tra i paradosso classici si ­ricordano quelli di Zenone di Elea, le antinomie kantiane ( antinomia), quelli dell’infinito (raccolti da Bolzano in I paradossi dell’infinito, post., 1851), i paradosso dell’implicazione materiale. Questi ultimi, già sostanzialmente noti ai logici megarici ( megarica, scuola), sono esprimibili, nei termini del calcolo proposizionale, mediante le due formule A→(B→A) e ¬ A→(A→B); essi sono chiamati paradosso non perché conducano a contraddizioni, ma perché sono lontani dall’intuizione comune, in quanto stabiliscono rispettivamente che se un enunciato è vero, allora è implicato da qualsiasi altro enunciato (verum sequitur ad quodlibet), e che se un enunciato è falso, allora esso implica qualsiasi enunciato (ex falso sequitur quodlibet). Qui, dopo una breve presentazione di alcuni dei principali paradosso, si procederà a una loro classificazione e saranno poi indicati alcuni metodi per evitare il loro sorgere. paradosso di Epimenide (detto anche paradosso del mentitore): Epimenide, cretese, afferma: «Tutti i Cretesi sono mentitori». Dice la verità o mente? Se dicesse la verità egli mentirebbe, viceversa se mentisse direbbe la verità. paradosso del coccodrillo, che può ricondursi al paradosso di Epimenide: un coccodrillo ha rapito un ragazzo e promette al padre di questo di restituirgli il figlio a condizione che egli indovini se il ragazzo sarà restituito o no; cosa dovrà fare il coccodrillo se il padre prevede che il figlio non sarà restituito? paradosso di Burali-Forti: ogni insieme bene ordinato ha un suo numero ordinale, ma l’insieme T di tutti i numeri ordinali disposti secondo grandezza è bene ordinato, quindi ha un suo ordinale, massimo tra tutti gli ordinali; indichiamolo con τ. Allora l’insieme bene ordinato secondo grandezza T ⋂ {τ} ha il suo ordinale, che risulta τ+1 e quindi è maggiore di τ; quest’ultimo perciò non è il massimo tra tutti gli ordinali. paradosso di Cantor: per il teorema di Cantor il numero cardinale dell’insieme ℑ (m) di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme m è maggiore del numero cardinale di m. Sia allora M l’insieme di tutti gli insiemi. Il suo numero cardinale è ovviamente il più grande numero cardinale possibile. Ma, per il teorema di Cantor, il numero cardinale dell’insieme ℑ (M) di tutti i sottoinsiemi di M è maggiore del numero cardinale di M. Questo paradosso, scoperto da Georg Cantor nel 1899, non fu pubblicato che nel 1932. Esso però non rimase ignoto, e nel giugno 1901 ne venne a conoscenza Russell che, sotto il suo stimolo, costruì un paradosso che porta il suo nome. paradosso di Russell: chiamiamo regolari gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi, irregolari quelli che contengono sé stessi come elementi. Sia R l’insieme di tutti e solo gli insiemi ­regolari. Si domanda se R è regolare o no, cioè se R∈R oppure R∉R. Ma, se R∈R, allora R non è ­regolare, cioè R∉R. Viceversa, se R∉R, allora R è regolare e quindi R∈R. Cioè, R∈R→R∉R. Il che è assurdo. paradosso di Richard: si consideri l’insieme D costituito da tutti i numeri reali definibili con un numero finito di parole della lingua italiana. D è numerabile perché è certamente finito il suo sottoinsieme Dk (k=1, 2, 3, …) costituito da tutti i numeri reali definibili con k parole. D può, allora, essere ­ordinato in modo naturale disponendo prima il sottoinsieme D1, poi D2, poi D3, ecc., e in ciascuno di questi ordinando a loro volta le varie definizioni ­lessicograficamente (cioè come in un dizionario). Chiamiamo n-esimo numero di Richard l’n-esimo ­numero dell’insieme ordinato D. Consideriamo ora il ­numero reale così definito: «il numero la cui i-esima cifra decimale è 1 se l’i-esima cifra decimale dell’i-esimo numero di Richard è diversa da 1, altrimenti è 2». Questo numero reale è definito con 26 parole, quindi deve appartenere a D, dove occuperà un ben determinato posto, diciamo il p-esimo. Ma, per il modo con cui è stato definito, esso è certamente diverso dal p-esimo numero di Richard nella p-esima cifra. Di qui il paradosso. Questo discorso è analogo a quello relativo al procedimento diagonale di Cantor. paradosso di Berry (è una presentazione semplificata di quello di Jules Antoine Richard): in italiano vi è un numero finito di sillabe, perciò finito è anche il numero delle definizioni di numeri naturali formulabili con non più di cinquanta sillabe. Definiamo numero di Berry «il più piccolo numero naturale non definibile con una frase composta di cinquanta sillabe al massimo». Ma questa definizione contiene meno di cinquanta sillabe, dunque, paradossalmente, il numero di Berry è definibile con non più di cinquanta sillabe. paradosso di Grelling: un aggettivo si dice autologico se conviene a sé stesso, eterologico se non conviene a sé stesso. Per es., l’aggettivo «polisillabico» è autologico, invece «monosillabico» è eterologico. Si domanda se l’aggettivo «eterologico» è eterologico oppure no. È chiaro che esso è eterologico se e solo se esso non è eterologico. paradosso del risvegliatore: secondo il diritto consuetudinario, in un villaggio c’è il risvegliatore che sveglia tutti e solo gli abitanti che non si svegliano da sé. Si domanda chi sveglia il risvegliatore, ammesso che egli qualche volta dorma. Non lui stesso, perché lui sveglia soltanto gli altri, non un altro, perché l’unico che può svegliare gli altri è lui stesso. Analogamente per un barbiere che rada tutti e solo gli abitanti che non si radono da sé stessi. Si tratta, in questi casi, di volgarizzazioni di paradosso riferite da Russell. paradosso di Skolem: ( Skolem, Thoralf).

Similari
Percorso della filosofia
158% Filosofia
Determinare con rigore il significato, i compiti, i campi di indagine, o addirittura le probabilità di sopravvivenza della filosofia in questo secolo, è particolarmente arduo, …
L’infinito come principio primo
122% Infinito
Ciò che è inesauribile e immisurabile, senza limite o termine. Le prime teorizzazioni sull’infinito si incontrano nei presocratici, nel quadro dei tentativi di individuare l’ἀρχή, ossia il principio primo della realtà natu…
L’essere al mondo
86% Idealismo
Sulle dottrine che si qualificavano espressamente come ‘idealistiche’ all’inizio del nostro secolo gravava una pesante ipoteca: la fortuna che, nel corso dell’Ottocento, aveva a…
Il neopositivismo
66% Neopositivismo
Come tutte le etichette filosofiche, anche quella di ‘neopositivismo’ (o, come pure si dice, di ‘positivismo logico’ o ’empirismo logico’) è ambigua. Sotto di essa si spa…
Note su Bertrand Russell
45% Russell, Bertrand
Discendente di un’antica famiglia della nobiltà britannica, divenne nel 1931, alla morte del fratello Frank, il terzo lord Russell. Studiò al Trinity College di Cambridge, dove, fin dalla fine del sec. 19º, iniziò con G. E…